Equazioni di primo grado

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Non c’è nulla da temere nella matematica, dopotutto molti argomenti non sono troppo diversi dai giochi che ci sono nei libricini di enigmistica per allenare il cervello e soprattutto la matematica può essere utile, se si sa come utilizzarla.

Di solito la matematica inizia a spaventare quando scompaiono i numeri e appaiono le lettere, ovvero quando si parla di algebra, ma in realtà non è cambiato nulla rispetto a prima, solo si tratta tutto quanto in maniera più generalizzata, e questo di solito è molto utile.

Per esempio, sai come si calcola lo sconto del 20% su un articolo che costa 5,00€ ?

Andando a logica, potresti pensare: il 100% è 5,00€, perciò il 10% (divido per 10) sono 0,50€. Il 20% è il doppio, perciò è 1,00€. 5,00-1,00=4,00€ che sarà il costo dell’articolo finale. Per chi deve fare conti più complessi non può mettersi lì a ragionare quanto costa una cosa e fare tutti i conti così, serve qualcosa di immediato, una formula, dove poter sostituire quello che serve per ottenere un risultato.

La formula sarà: S=P*(100-s)/100

con S=prezzo scontato, P=prezzo originale, s=sconto. Mettendo al posto della P il prezzo non scontato e al posto della s lo sconto in % si ottiene il prezzo scontato.

Comunemente si parla di espressione quando tutti i termini sono numerici, per esempio: 5+58/(2-44), mentre si parla di equazione quando alcuni termini sono lettere, ad esempio: 8x+8-16=4x. La parte a sinistra dell’uguale è detta “primo membro”, mentre la parte a destra è detta “secondo membro”.

Come si risolve una equazione di questo tipo? È come un gioco di logica e per ottenere quanto vale la x puoi muoverti usando due passi:

• sommando o sottraendo ad entrambi i membri lo stesso numero il risultato non cambia.
• moltiplicando o dividendo entrambi i membri per lo stesso numero (tranne lo 0) il risultato non cambia.

Come si risolve? Si portano tutti i numeri con la x da una parte e tutti gli altri numeri dall’altra parte. Quando sposti un numero da un membro all’altro bisogna cambiargli segno:

8x+8-16 = 4x    =>    8x+8 = 4x+16

Perché per fare questa operazione si è utilizzato il primo passo che consente di sommare o sottrarre lo stesso numero ad entrambi i membri. Quello che è stato fatto è questo: ho aggiunto +16 ad entrambi i membri.

8x+8-16+16 = 4x+16    =>    8x+8 = 4x+16

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Si tratta della stessa operazione, ho specificato solo per renderla più chiara, altrimenti è sufficiente sapere che se sposti da una parte all’altra un numero devi cambiargli il segno, perciò se era +5 diventerà -5 dall’altra parte e viceversa.

Quindi continuiamo, spostando l’8 dall’altra parte e cambiandogli il segno in -8 :

8x = 4x+16-8  =>   8x=4x+8

Ora sposto i termini con la x al primo membro.

8x-4x = 8    => 4x = 8

Perfetto, ora utilizziamo il secondo passo, che consente di moltiplicare o dividere entrambi i membri per lo stesso numero. Siccome voglio avere una cosa del tipo:

x = numero,  divido per quattro il primo e il secondo membro:

4x/4 = 8/4    =>   x = 2

Abbiamo così trovato che la x vale 2, infatti, sostituendo all’equazione originale 2 al posto di x, otteniamo:

8 * 2+8-16 = 4 * 2    =>  16+8-16=8    =>    8 = 8 che è vero, quindi non sono stati fatti errori!

Le equazioni di primo grado sono tutte fatte così, diverse sono invece quelle del 2° grado che hanno termini con x² come: 5x²+6x+8=0, che sono più difficili da risolvere.

Come si risolve invece un sistema di equazioni? E a cosa serve?

Facciamo un esempio pratico per capirlo. Mirko ha comprato cinque maglie e due camicie e ha speso 20€, Luca invece ha comprato una maglietta e una camicia e ha speso 12€. Quanto costano la maglietta e la camicia?

Chiameremo con la lettera m il costo di una maglietta e con la lettera c il costo di una camicia. Mirko ha comprato 5 magliette e 2 camicie, perciò:

5m+2c=20

Mentre Luca: m+c=12.

Ora non è possibile da una sola di queste scoprire quanto valgono singolarmente ma mettendo insieme le due sì.

5m+c=20

m+c=12

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Ora utilizzo per risolvere il sistema il metodo della sostituzione, ovvero ricavo una incognita dall’altra. Dalla seconda ottengo che:

c = 12-m

Ora nella prima metto (12-m) al posto di c.

5m+12-m = 20.

Porto il 12 a destra, (ricordandomi di cambiargli il segno):

4m = 20-12      =>     4m = 8

Divido per 4 e ottengo     m = 2. Quindi la maglietta costa 2€.

La camicia non l’abbiamo persa nel frattempo, infatti da sopra:

c = 12-m = 12-2 = 10. La camicia costa 10€.

Di giochi come questi ce ne sono tantissimi, con simboli, indumenti, colori e tutto quello che vi pare. Basta indicare una cosa con una lettera e risolvere le equazioni utilizzando i due passi possibili che ti ho illustrato sopra.

Davide D.

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